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本文常用量级绝对无穷部分构造补充（第1页）

【世界基数】

定义：一个基数k是or1d1yneta1，如果Vk=ZFc.

我并不知道这个基数是谁提出的，这里只是做出一些解释。下面的结果应该都是已知的，但是我没有去找参考文献。我们用neta1。下面的命题是显然的。

命题1:ZFnet（ZFnet（ZFc））.

由gode1不完备性，ZFnet（ZFnet（ZFnet（ZFc）能证明的。

我们用I表示不可达基数。显然每一

个不可达基数都是c，因此：

命题2:ZFc+3I3c.

但是最小的c严格小于最小的1。命题3：如果k是不可达的，则存在世界基数入＆amp;amp;It;k。

证明：假定k不可达，有sko1em定理（及其构造方法），存在可数模型mo＜Vk以及noamp;1t;k使得moeVno。一般地，对于任意i，mi＜Vk以及ni

amp;1t;k使得mieVni，存在模型mi+1eVni+1使得mi+1＜Vk并且Vnicmi+1。

令入＝uini

amp;1t;k。显然Vi（mi＜mi+1）。因而有模型论基本知识，uimi＜Vk。有构造，我们知道V入＝uimi。因此V入＜Vk从而是ZFc的模型。因而入是c

由命题3，我们有以下推论：

推论3.1:ZFnet（ZFc+3

c）.

因此c的协调性强度是严格弱于不可达基数的。由命题3的证明，我们可以推断最小的世界基数具有共尾性。

还有人提及以下定义：

定义2：一个序数a是可扩的，如果存在p

amp;gt;a使得Va＜Vb。

我们用ec表示可扩基数。显然命题

3中的入就是可扩的。并且可以构造在k下另外一个入amp;gt；入使得V入＜V入＜Vk.aZsnet在评论里提到了Joe1hamkins给了关于可扩基数的比较完整的描述（theotherord1yneta1s）。其中下面这个定理澄清了ec的强度

定理1（hamkins）:ecsc，并且每一个ec下面都有一个c严格小于它．

注意虽然不可达基数的强度要严格高于存在ec的协调性，但是Iec．例如最小的不可达基数不属于ec。

【ZFc公理宇宙】

1．不可达基数

可数，不可数，后继，极限，正则，奇异。

不可达基数就是指不可数正规的强极限基数，如果是不可数正规的极限基数，则称之为弱不可达基数。可数就是指小于等于阿列夫零的基数。反之不可数就是指大于阿列夫零的基数。后继，就是指比它小的基数中有最大值，极限就是指比它小的基数中没有最大值，强极限就是比它小的任意基数中，2的次方均小于它。正规就是到达它的最短长度等于本身，也就是若k是正则基数，则不存在小于k个小于k的集组之并的基数为k，或者说不存在小于k个严格递增的序列，其极限为k。奇异就是到达它的最短长度小于本身。对于基数k，存在小于k的严格递增的序列的极限为k，则k为奇异基数。正规和奇异基数引入了共尾度的概念，共尾度就是到达它的最短长度。后继序数的共尾度是1。正则基数就是cf（k）=k，奇异基数就是cf（k）amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k.

不可达基数k就是对任意小于k的基数，取幂集的基数仍然小于k并且由任意小于k个小于k的集组之并的基数仍然小于k。而对比弱不可达基数只要满足＆amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k的任意基数的后继仍然＆amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;It;k就行。而具有以上相同性质的可数基数就是阿列夫零。

举个例子：cf（1）=1，cf（任意有限数）=1，cf（）=，cf（_1）=_1（不存在长度是的序列，因为小于_1的基数是可数的，但可数个可数集之并（也就是它们的上确界）可数，不可能是_1）。cf（_）=（长度的序列取，_1，_

2，3，......）。

对于极限序数，有cf（a）=cf（_a），所以对于不可达基数k，k=_k，但是，这样的奇异不动点非常多。比如说a是任意的基数，然后设序数列_a，_（_a），.....．设k是它们的确界，很显然容易证明k=_k，但是很遗憾，这基数仍然还是奇异基数，并且它的共尾度是。

好了。以下基数的性质。

o，可数，正规，强极限。1，可数，正规，后继。2，可数，非正规，后继。，可数，正规，强极限。_

1，不可数，正规，后继。_2，不可数，正规，后继。_，不可数，非正规，极限。_（+1），不可数，正规，后继。_（_1），不可数，非正规，极限。阿列夫不动点，不可数，非正规，极限。

很显然，用替代公理模式获取的基数，三个条件都不能同时满足，所以都不是不可达基数。不过，在大于的基数中，正规极限的基数则就是不可达基数。也可以说，从阿列夫零到不可达基数其概念意义上的距离，跟从o到阿列夫零是一样的。

有了替代公理模式，你可以构造类似omega-fixed-point={xe1f（o）=，f（x）=_f（x-1）｝的集合，通过更大的f就能获取更大的基数。但是，很显然，由替代公理所迭代获取出来的基数，全部都是奇异基数，其xe的那个数就是它的共尾度或者是共尾度比这个数还小，哪怕再大，均不符合cf（k）=k的条件。因此不可能抵达不可达基数。

不可达基数本身也是阿列夫数，同时也都是不可达的阿列夫不动点，贝斯不动点，极限基数（因为对于后继基数阿列夫（a+1）amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;=2^阿列夫a，不符合强极限的定义）。同时不存在一个（xe（amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k）1f（x）amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k）的集合，使得其上确界为k。

还可以更抽象的理解不可达基数，假如连续统假设成立。则2^阿列夫零＝阿列夫一，2^阿列夫一＝阿列夫二．.....你可以这样迭代下去，你能得到阿列夫（阿列夫（阿列夫一）），阿列夫（阿列夫（阿列夫（阿列夫．.....））），你所想象到的迭代，无论是多么的变态，你都不可能迭代出不可达基数。因为不可达基数是正则基数，不可能从下至上抵达它。举个例子，有限的数，它们经过任意有限次迭代，都不可能到达无穷大，只能用∞这个符号表示，同样，∞（指小基数），哪怕它们经过任意8次迭代，也不可能到达不可达基数。

你取到k之后，那么k和2^k都是正则的大基数，继续对k替代公理模式以及对k取幂集，仍然不可达的就是第二个不可达基数。

2．马洛基数

一个无穷基数k是马洛基数（mah1oneta1）当且仅当k是一个不可达基数并且是“正则基数”。

{a

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k1入是正则基数｝是k上的平稳集［1]。如果k是马洛基数，则是“不可达基数”。

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