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冯诺依曼代数简介及其转变二 代数转变和引力（第1页）

通常的adsnet极限。

考虑netg1etranet2?k）o（n^{2-k}），因此取大n极限的话只有两点函数不为o。同时如果要想让sing1etranet极限，我们可以定义一个减除过后的sing1etrace算符

=tr??tr?mathnetg1etrap>此时因为在大n极限下只有两点函数会出现，因此算符构成了一个自由场论。

考虑所有互相之间具有非零的对易子的算符，可以组成代数aL，o，aR，omathca1{a}_{L，o}，mathca1{a}_{R，o}，它是定义在边界上的.根据对偶关系，有

aL，o=a1，o.aR，o=ar，omathca1{a}_{L，o}=mathca1{a}_{1，o}.mathca1{a}_{R，o}=a_{r，o}

因此边界上的sing1etrace算符组成的代数等价于bu1k中黑洞视界外的场论组成的代数。

那么这个代数属于哪种冯诺依曼代数呢？

通常对于一个热场二重态

|tFd?=∑ie?bei2|ei?L|ei?R|tFdrang1e=sum_{i}e^{-betae_{i}2}|e_{i}rang1e_{L}|e_{i}rang1e_{R}

它可以全息的描述一个永恒黑洞，不过此时需要注意的是，形成这个tFd的参数bbeta描述的是左侧或者右侧黑洞的温度，而在ads时空中，存在霍金佩奇相变，因此温度需要大于haking-page温度这个描述才是成立的。

t＞tpaget＞t_{page}

而在page温度以下，时空处于ads真空态。对于真空态，大n极限可以良好的定义，因此通常可以认为代数在大n下满足von-neumannI∞I_{infty}，而当温度大于page温度之后，其大n极限不能被良好的定义，表现在能量，熵等都会散。（实际上这个大n极限的定义问题，对于理解高维的引力ensemb1e对偶具有重要意义）表现在代数上，意味着此时在大n极限下，von-neumann代数会变成typeIII1mathrm{III_{1}}的.同时tFd态的希尔伯特空间不再左右可分，上面关于tFd态的写法不再成立。这一点可以通过全息也能看出，根据全息，我们可以在黑洞背景下构造hi1bert空间，此时这个希尔伯特空间就是弯曲时空下量子场的希尔伯特空间，因此它必然是typeIIImathrm{III}型的代数。

以上在取大n极限之后，演生出了一个typeIII1mathrm{III_{1}}的von-neumann代数。可以考虑是否可以将这个代数加入一些其他的元素，使其扩充为一个更大的代数。一个自然的想法是加入边界的哈密顿量，考虑减除后的哈密顿量

hR′=hR??hR?h_{R}=h_{R}-1ang1eh_{R}rang1e

因为?hR′2?～n21ang1eh_{R}^{2}rang1esimn^{2}，这个哈密顿量依然没有大n极限。为了定义它在大n极限下表现良好，可以定义

u=1nhR′u=franet下u不为o也不散，因此具有良好的大n极限。而对于V∈aR，omathnetmathca1{a}_{R，o}，有如下关系

[u，V]=1n[hR，V]=?in?V?t[u，mathnet}[h_{R}，mathnet}frac{partia1mathca1{V}}{partia1t}

取n→∞ntoinfty，我们现[u，V]→o[u，mathca1{V}]too，因此u是aR，omathnetter。并且因为u和其他算符都对易，不满足aR，omathca1{a}_{R，o}中的元素要求，所以扩充后的代数结构为aR=aR，o?aumathca1{a}_{R}=mathca1{a}_{R，o}otimesmathca1{a}_{u}.作用的空间为htFd?L2（R）mathca1{h}_{tFd}otimesL^{2}（R）.此时的代数依然是typeIIImathrm{III}的，但是因为它具有了一个非平庸的netter，因此不再是一个factor。一个代数是fanetter。

有趣的事情生下1n1n阶，此时根据对易关系

[hR′n，a]=（?in）?ta[h_{R}n，a]=（-in）partia1_{t}a，此时因为考虑o（1n）o（1n）的修正，所以哈密顿量不能简单的认同为u，而是也要考虑修正，好在此时的修正可以很容易的获得

1nhR′=u+1bnh^franet}h_{R}=u+franet}hat{h}

其中h^hat{h}是modu1arhami1tonian，它的定义如下

h^=ssdΣνVμtμνhat{h}=int_{s}dsigma^{u}V^{mu}t_{muu}

它具有简单的边界对偶，因此也可以作为边界上的算符。

因此考虑原来的算符集合，加入u+h^bnu+hat{h}betan算符之后的修正，此时因为这个算符与原算符aR，omathca1{a}_{R，o}不再对易，因此不会形成一个直积的结构，实际上u+h^bnu+hat{h}betan产生的是一个外自同态（outerautomorphism）的结构，所以实际上代数为aR=ar，o?au+h^bnmathca1{a}_{R}=mathca1{a}_{r，o}rtimesmathca1{a}_{u+hat{h}betan}.

外自同态（outerautomorphism）的定义如下：

考虑一个hmathca1{h}上的算符t，如果?a∈a，s∈Rfora11ainmathnetR，都有

eitsae?its∈ae^{its}ae^{-its}inmathca1{a}

再考虑一个扩充的希尔伯特空间h?L2（R）mathca1{h}otimesL^{2}（R），此时有一个更大的代数a?Rmathca1{a}rtimesR，它的生成元为a?1，eist?eisxaotimes1，e^{ist}otimese^{isx}或者是aeist?eisxae^{ist}otimese^{isx}

当t属于amathneter的，而当tt不属于amathca1{a}的时候，生成的自同态是outer的。

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