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冯诺依曼代数简介及其转变二 代数转变和引力（第2页）

如果这个自同态结构是通过h^hat{h}形成的，那么此时这个R叫做模自同态群，可以看出加入边界哈密顿量之后的sing1etrace算符的代数结构就是上面讨论的这种数学构造。

一个数学定理说的是：对于一个typeIII1III_{1}的factor，它和其外模自同态群（outerautomorhphism）形成的代数结构aR=ar，o?au+h^bnmathca1{a}_{R}=mathca1{a}_{r，o}rtimesmathca1{a}_{u+hat{h}betan}是一个typeII∞mathrm{II}_{infty}的vonneumann代数。它也是一个factor。

typeII的代数和typeIII的代数的一个重要不同在于，typeII代数具有求迹的结构，而typeIII代数没有。因此当代数转变为typeII的时候，可以自然的定义一个子区域的求迹，进而定义密度矩阵和纠缠熵。

下面来探索，此时定义的求迹的表达式的形式：

考虑扩充的希尔伯特空间中的态Ψ^=Ψ?g12（x）hat{psi}=psiotimesg^{12}（x），其中Ψpsi是关于代数ar，omathca1{a}_{r，o}的一个netg的态，因为g12g^{12}是恒正的，因此Ψ^hat{psi}也是一个netg的态。

对于ar，omathca1{a}_{r，o}有一个modu1ar算符ΔΨde1ta_{psi}，满足如下的关系

?Ψ|ab|Ψ?=?Ψ|bΔΨa|Ψ?1ang1epsi|ab|psirang1e=1ang1epsi|bde1ta_{psi}a|psirang1e

证明比较简单

?Ψ|bΔΨa|Ψ?=?Ψ|bsΨ?sΨa|Ψ?=?b?Ψ|sΨ?|sΨaΨ?=?a?Ψ|sΨ|b?Ψ?=?Ψ|ab|Ψ?1ang1epsi|bde1ta_{psi}a|psirang1e=1ang1epsi|bs^{dagger}_{psi}s_{psi}a|psirang1e=1ang1eb^{dagger}psi|s_{psi}^{dagger}|s_{psi}apsirang1e=1ang1ea^{dagger}psi|s_{psi}|b^{dagger}psirang1e=1ang1epsi|ab|psirang1e

其中用到了modu1ar算符的表达式ΔΨ=sΨ?sΨde1ta_{psi}=s_{psi}^{dagger}s_{psi}，以及sΨs_{psi}是一个反线性算符。

如果定义au=eih^Ψuae?ih^Ψua_{u}=e^{ihat{h}_{psi}u}ae^{-ihat{h}_{psi}u}，那么也可以得到kms关系?Ψ|aub|Ψ?=?Ψ|bau+i|Ψ?1ang1epsi|a_{u}b|psirang1e=1ang1epsi|ba_{u+i}|psirang1e

而对于扩充代数，此时它也应该具有一个相应的modu1ar算符Δ^Ψ^hat{de1ta}_{hat{psi}}

?Ψ^|a^b^|Ψ^?=?Ψ^|b^Δ^Ψ^a^|Ψ^?1ang1ehat{psi}|hat{a}hat{b}|hat{psi}rang1e=1ang1ehat{psi}|hat{b}hat{de1ta}_{hat{psi}}hat{a}|hat{psi}rang1e，此时a^，b^∈ar，o?ah^Ψ+xhat{a}，hat{b}inmathca1{a_{r，o}}rtimesmathca1{a}_{hat{h}_{psi}+x}，记x=bnux=betanu

因为此时a^=aeis（h^Ψ+x）hat{a}=ae^{is（hat{h}_{psi}+x）}，容易验证扩充后的modu1ar算符的表达式为

Δ^Ψ^=ΔΨg（h^Ψ+x）g（x）?1hat{de1ta}_{hat{psi}}=de1ta_{psi}g（hat{h}_{psi}+x）g（x）^{-1}

这个公式意味着它可以拆分为两部分Δ^Ψ^=k~khat{de1ta}_{hat{psi}}=ti1de{k}k

k=Δe?xg（h^Ψ+x），k~=exg（x）k=de1tae^{-x}g（hat{h}_{psi}+x），quadti1de{k}=frac{e^{x}}{g（x）}

有了以上的准备工作，可以给出对于a?Rmathca1{a}rtimesR上的算符a^hat{a}的trace

tra^=?Ψ^|a^k?1|Ψ^?trhat{a}=1ang1ehat{psi}|hat{a}k^{-1}|hat{psi}rang1e

可以验证它确实满足trace的定义

tra^b^=?Ψ^|a^b^k?1|Ψ^?=?Ψ^|b^k?1Δ^Ψ^a^|Ψ^?=?Ψ^|b^k?1Δ^Ψ^a^Δ^Ψ^?1|Ψ^?trhat{a}hat{b}=1ang1ehat{psi}|hat{a}hat{b}k^{-1}|hat{psi}rang1e=1ang1ehat{psi}|hat{b}k^{-1}hat{de1ta}_{hat{psi}}hat{a}|hat{psi}rang1e=1ang1ehat{psi}|hat{b}k^{-1}hat{de1ta}_{hat{psi}}hat{a}hat{de1ta}_{hat{psi}}^{-1}|hat{psi}rang1e

带入Δ^Ψ^=k~khat{de1ta}_{hat{psi}}=ti1de{k}k，就可以知道

tr（a^b^）=?Ψ^|b^a^k?1|Ψ^?=tr（b^a^）tr（hat{a}hat{b}）=1ang1ehat{psi}|hat{b}hat{a}k^{-1}|hat{psi}rang1e=tr（hat{b}hat{a}）

这里用到了k~ti1de{k}和a对易。

利用ΔΨΨ=Ψ，h^Ψ|Ψ?=ode1ta_{psi}psi=psi，quadhat{h}_{psi}|psirang1e=o，求迹操作的定义可以写为如下简单的形式

tr（a^）=?Ψ^|a^exg（x）|Ψ^?=s?∞∞dxex?Ψ|a^|Ψ?tr（hat{a}）=1ang1ehat{psi}|hat{a}frac{e^{x}}{g（x）}|hat{psi}rang1e=int_{-infty}^{infty}dxe^{x}1ang1epsi|hat{a}|psirang1e

有了trace的定义，就可以讨论密度矩阵的定义，对于一个属于hi1bert空间的态|Φ?∈h|phirang1einmathca1{h}，可以定义p∈arhoinmathca1{a}

?Φ|a|Φ?=tr（pa）1ang1ephi|a|phirang1e=tr（rhoa）

由以上定义可以看出，对于netg的态|Ψ^?|hat{psi}rang1e，密度矩阵就是k.得到密度矩阵之后，自然也可以考虑子区域的纠缠熵

s（p）=?tr（p1ogp）s（rho）=-tr（rho1ogrho）

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